Operatore Lineare

Un operatore lineare, detto anche trasformazione lineare, è una funzione tra due spazi vettoriali che rispetta le operazioni di somma vettoriale e moltiplicazione per uno scalare. Formalmente, sia V e W due spazi vettoriali su un campo K. Una funzione T: V → W è un operatore lineare se per ogni vettore u, v ∈ V e per ogni scalare c ∈ K valgono le seguenti proprietà:

1. Additività: T(u + v) = T(u) + T(v)
2. Omogeneità: T(cu) = cT(u)

Queste due proprietà possono essere combinate in un'unica condizione:

T(cu + dv) = cT(u) + dT(v) per ogni u, v ∈ V e c, d ∈ K.

Esempi comuni:

• Operatore zero: T(v) = 0 per ogni v ∈ V.
• Operatore identità: T(v) = v per ogni v ∈ V.
• Moltiplicazione per uno scalare: T(v) = cv per ogni v ∈ V, dove c è uno scalare.
• Proiezioni lineari: Proiettano un vettore su un sottospazio.
• Rotazioni lineari: Ruotano un vettore attorno a un punto fisso (solitamente l'origine) in uno spazio vettoriale.
• Derivata (nel contesto di spazi di funzioni): Se V è lo spazio delle funzioni differenziabili e W lo spazio delle funzioni, allora la derivata è un operatore lineare.
• Integrale definito (nel contesto di spazi di funzioni): Se V è lo spazio delle funzioni integrabili e W è R, allora l'integrale è un operatore lineare.

Proprietà importanti:

• Un operatore lineare mappa il vettore nullo di V nel vettore nullo di W: T(0_V) = 0_W.
• Un operatore lineare preserva le combinazioni lineari.
• Un operatore lineare è completamente determinato dai suoi valori su una base dello spazio di partenza V.

Matrice associata:

Se V e W sono spazi vettoriali di dimensione finita, rispetto a basi scelte, ogni operatore lineare T: V → W può essere rappresentato da una matrice. Questa matrice agisce sui vettori di V (rappresentati come vettori colonna rispetto alla base scelta) per produrre i vettori di W (sempre rappresentati come vettori colonna rispetto alla base scelta).

Nucleo e Immagine:

• Il nucleo (o kernel) di un operatore lineare T è l'insieme di tutti i vettori in V che vengono mappati nel vettore nullo in W: ker(T) = {v ∈ V | T(v) = 0_W}. Il nucleo è un sottospazio vettoriale di V.
• L'immagine (o range) di un operatore lineare T è l'insieme di tutti i vettori in W che sono l'immagine di qualche vettore in V: im(T) = {w ∈ W | w = T(v) per qualche v ∈ V}. L'immagine è un sottospazio vettoriale di W.

Teorema della dimensione (Rank-Nullity Theorem):

Per un operatore lineare T: V → W tra spazi vettoriali di dimensione finita, vale la seguente relazione:

dim(V) = dim(ker(T)) + dim(im(T))

Dove dim(ker(T)) è la nullità di T e dim(im(T)) è il rango di T.

Applicazioni:

Gli operatori lineari hanno innumerevoli applicazioni in matematica, fisica, ingegneria e informatica. Sono fondamentali per la risoluzione di sistemi lineari, l'analisi di trasformazioni geometriche, l'elaborazione del segnale, la meccanica quantistica e molte altre aree.