Un operatore lineare, detto anche trasformazione lineare, è una funzione tra due spazi vettoriali che rispetta le operazioni di somma vettoriale e moltiplicazione per uno scalare. Formalmente, sia V e W due spazi vettoriali su un campo K. Una funzione T: V → W è un operatore lineare se per ogni vettore u, v ∈ V e per ogni scalare c ∈ K valgono le seguenti proprietà:
Queste due proprietà possono essere combinate in un'unica condizione:
T(cu + dv) = cT(u) + dT(v) per ogni u, v ∈ V e c, d ∈ K.
Esempi comuni:
Proprietà importanti:
Matrice associata:
Se V e W sono spazi vettoriali di dimensione finita, rispetto a basi scelte, ogni operatore lineare T: V → W può essere rappresentato da una matrice. Questa matrice agisce sui vettori di V (rappresentati come vettori colonna rispetto alla base scelta) per produrre i vettori di W (sempre rappresentati come vettori colonna rispetto alla base scelta).
Nucleo e Immagine:
Teorema della dimensione (Rank-Nullity Theorem):
Per un operatore lineare T: V → W tra spazi vettoriali di dimensione finita, vale la seguente relazione:
dim(V) = dim(ker(T)) + dim(im(T))
Dove dim(ker(T)) è la nullità di T e dim(im(T)) è il rango di T.
Applicazioni:
Gli operatori lineari hanno innumerevoli applicazioni in matematica, fisica, ingegneria e informatica. Sono fondamentali per la risoluzione di sistemi lineari, l'analisi di trasformazioni geometriche, l'elaborazione del segnale, la meccanica quantistica e molte altre aree.
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